С давнего времени люди жили и мечтали о полете в космос. Весь мир восхищается героическим подвигом Ю.А. Гагарина. Школьники будут изучать основы машиностроения.
Давнего - Р.п.
Времени - Р.п.
Жили - это глагол, у него нет падежа. (Может быть ты не правильно списываешь сюда текст, проверь)
Мечтали - то же самое.
О полете - П.п.
Героическим - Т.п.
Подвигом - Т.п.
Гагарина - Р.п.
Основы - И.п.
Машиностроения - Р.п.