1) По теореме Фалеса АМ=МК, так как на стороне ВК отмечены равные отрезки и через их концы проведены паралллельные прямые
Значит на другой стороне получены тоже равные отрезки.
АК=КС
АМ=МК=(1/4)АС
АМ:МС=1:3
МС:СА=3:4
Значит, треугольники MNC и АВС подобны с коэффициентом 3/4
Периметры подобных треугольников относятсся как сходственные стороны
Р (Δ CMN) :P( ΔABC)= MC:CA=3:4
P( ΔABC)=36
Р (Δ CMN)=(3/4)·48=36 cм.
2) АК=КС=12/2=6 см ( высота равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, является и медианой)
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки
АК=АМ=6
СK=CN=6
BM=BN=12
Δ MEB ~ ΔABK ( по двум углам)
BM: BA=ME:АК
12:18=МЕ:6
МЕ=12·6:18=4 см
MN=2ME=8 cм
О т в е т. 8 см
3) По теореме косинусов из треугольника АВС
АС²=АВ²+ВС²-2АВ·ВС·cos120°
АС²=8²+12²-2·8·12·(-1/2)
АС²=304
Биссектриcа BD делит сторону AC отрезки пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, т.е
AD:DC=AB:BC=8:12=2:3
Значит AD=(2/5)AC
По теореме косинусов из треугольника АВD
AD²=AB²+BD²-2AB·BD·cos 60°
304=64+BD²-2·8·BD·(1/2)
Из квадратного уравнения
BD²-8BD-240=0
найдем BD
D=(-8)²-4·(-240)=64+960=1024
BD=(8+32)/2=20 второй корень квадратного уравнения отрицателен и не удовл.
О т в е т. BD=20
