Помогите с решением интеграла

Question

Дан 1 ответ

JhonnyM_zn · Answer 1 · 2018-04-23T16:30:02+0000

Интересный интеграл, пришлось повозиться с решением.
Шаг первый -- методом неопределённых коэффициентов разбиваем дробь на простейшие
$\int\ { \frac{1}{ \sqrt{x} + \sqrt[3]{x}+2 \sqrt[4]{x} } } \, dx = \int\ { \frac{-1}{4(1+ \sqrt[12]{x} )}+ \frac{-1+ \sqrt[12]{x} }{8(2- \sqrt[12]{x}+ \sqrt[6]{x} )}+ \frac{1}{2 \sqrt[4]{x} } - \frac{1}{4 \sqrt[6]{x} } } \, dx + \int\ { \frac{1}{8 \sqrt[12]{x} }} \, dx$
Согласно свойству интегралу от суммы -- разбиваем на сумму интегралов и сражаемся с каждым.

$\int\ { \frac{-1}{4(1+ \sqrt[12]{x}) } } \, dx = -3 \int\ { \frac{ u^{11} }{(u+1)} } \, du[tex]-3 \int\ { u^{10} -u^9+u^8-u^7+u^6-u^5+u^4-u^3+u^2-u- \frac{1}{u+1}+1 } \, du$ u =\sqrt[12]{x} [/tex]

Простейшие первообразные, сразу заменяем u на x (обратно), в дальнейшем я такие тривиальные шаги буду опускать:

$= \frac{3 \sqrt[12]{x^{11}} }{11} + \frac{3x^{5/6}}{10} - \frac{x^{3/4}}{3} + \frac{3x^{2/3}}{8} - \frac{3x^{7/12}}{7} - \frac{3x^{5/12}}{5} + \frac{ \sqrt{x} }{2} + \frac{3 \sqrt[3]{x} }{4} - \sqrt[4]{x}+ +(3 \sqrt[6]{x} )/2 - 3 \sqrt[12]{x} + 3ln( \sqrt[12]{x} +1) + const$

$\int\ { \frac{-1+ \sqrt[12]{x} }{8(2- \sqrt[12]{x}+ \sqrt[6]{x} )} } \, dx = \frac{3 \sqrt[12]{x^{11}} }{22} - \frac{x^{3/4}}{3} - \frac{3x^{2/3}}{8} + \frac{3x^{7/12}}{7} + \frac{3x^{5/12}}{5} + \frac{3 \sqrt{x} }{2}+ + (15 \sqrt[3]{x} )/4 -7 \sqrt[4]{x} +(9x^{1/6})/2+51 \sqrt[12]{x} +(33ln( \sqrt[6]{x}- \sqrt[12]{x}+2 ))/2- -(171arctg[(2 \sqrt[12]{x}-1 )/( \sqrt[7]{x}) ])/ \sqrt[7]{x} +const$
Будьте внимательны, красивыми формулами сайта писать уже затруднительно, но логика сохранена, всё записано истинно
Три последних интеграла берутся без затруднений, данный момент опущу.
Дальше арифметика, просуммировав все результаты, и набросив косметики, ответ представляет собой:
$2 \sqrt{x} -3 \sqrt[3]{x} -8 \sqrt[4]{x} +6 \sqrt[6]{x} +48 \sqrt[12]{x} +3ln( \sqrt[12]{x}+1 ) + (33/2) ln( \sqrt[6]{x}- \sqrt[12]{x}+2) - (171/ \sqrt[7]{x} )arctg[(2x^{1/12}-1)/(x^{1/7})] + + const$