Задача:
Записать выражение, задающее функцию 
где 
, если известно, что график этой функции пересекается с графиком функции 
где 
в точке 
, если 
.
Задачу можно решить двумя способами.
I способ, алгебраический.
Обратимся для решения задачи к алгебре. Фактически, вся наша задача сводится к нахождению неизвестной величины 
, тогда как все прочие величины в выражении 
нам известны. В задаче нам даны и величина 
, и координаты 
и 
, остается найти только неизвестную величину .
Откуда взять координаты и ? Все очень просто: в условии сказано, что график искомой нами функции пересекает график другой функции в какой-то точке 
. Это означает, что точка принадлежит графикам обеих функций. И координаты этой точки можно подставить в выражение, задающее обе функции, и это выражение не потеряет смысла. Я докажу вам это. Возьмем известную из задания функцию 
и вместо переменных и подставим координаты и точки . Наше выражение не потеряет смысла (то есть равенство сохранится), так как точка принадлежит графику этой функции (иными словами она задается этим самым уравнением). Проделаем это:
. Итак, мы видим, что мои слова правдивы. Этот метод действительно работает.
Это всего-лишь было доказательство, теперь перейдем к делу. Вместо переменных и в выражении подставим координаты и точки , так как она принадлежит графику этой функции (что следует из условия):
Вспомним, что в условии сказано, что и решим теперь данное уравнение:
.
Итак, мы выяснили, что 
, в задании же просят указать выражение, задающее нашу функцию, а оно имеет вид: 
, подставим теперь вместо и их значения и получим ответ:
Готово!
Предлагаю решить задачу также и вторым способом, а заодно и проверить ответ.
II способ, геометрический.
Поработаем с графиками. Построим график функции, данной в задании, . На том же графике отметим точку . И, наконец, определим, что график вида — прямая, где — координата точки пересечения графика с осью . То есть, иначе говоря, наш искомый график будет проходить через точки: 
(так как из условия) и 
(из условия следует, что такая точка графику принадлежит, значит график через нее проходит). Построим график через две данные точки. Убедимся, что данный график соответствует графику функции 
(убывает, проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;-1) при параллельном переносе 
, а также проходит через точку (0;4) 
). Итак, задача решена двумя способами.
P. S. все графические построения во вложениях к ответу (смотрите картинку). Задавайте свои вопросы.
