Пожалуйста помогите решить e^y=e-xy

Question

Дан 1 ответ

gartenzie_zn · Answer 1 · 2018-04-23T04:28:36+0000

Единственное, что тут можно сделать – выразить x(y):

e^y = e – xy ;

$e^y = e - xy \ ;$

$xy = e - e^y \ ;$

$x = \frac{ e - e^y }{y} \ .$

В коментах просят проиводную:

Продифференцируем исходное уравнение
по переменной    $x \ ,$     и получим:

$e^y \cdot y'_x = - y - x y'_x \ ;$

$e^y \cdot y'_x + x y'_x = - y \ ;$

$y'_x \cdot ( e^y + x ) = - y \ ;$

$y'_x \cdot ( e - xy + x ) = - y \ ;$

$y'_x = \frac{y}{ xy - x - e } \ ;$

$y'_x = \frac{y}{ x ( y - 1 ) - e } \ ;$

Если подставить значение    $x(y) = \frac{ e - e^y }{y} \ ,$     то мы получим:

$y'_x (y) = \frac{y}{ ( y - 1 )( e - e^y )/y - e } = \frac{y}{ ( 1 - 1/y )( e - e^y ) - e } = \frac{y}{ e - e^y - e/y + (e^y)/y - e } = \\\\ = \frac{y}{ (e^y)/y - ( y \cdot e^y )/y - e/y } = \frac{y}{ ( e^y - y \cdot e^y - e )/y } = \frac{y^2}{ e^y - y \cdot e^y - e } = \frac{y^2}{ e^y ( 1 - y ) - e } \ ;$

Можно продиффиренцировать    $x(y) \ ,$     и мы получим:

$x'_y (y) = \frac{ - e^y \cdot y - e + e^y }{y^2} = \frac{ e^y ( 1 - y ) - e }{y^2} \ .$

$y'_x (y) = \frac{dy}{dx} = 1 / \frac{dx}{dy} = 1 / x'_y (y) = \frac{y^2}{ e^y ( 1 - y ) - e } \ ,$
что так же было уже найдено и раньше.

Ответ:

$\frac{dy}{dx} = y'_x (x,y) = \frac{y}{ x ( y - 1 ) - e } \ ;$

$\frac{dy}{dx} = y'_x (y) = \frac{y^2}{ e^y ( 1 - y ) - e } \ ;$

$\frac{dx}{dy} = x'_y (y) = \frac{ e^y ( 1 - y ) - e }{y^2} \ .$

*** Если же (вдруг) это дифур. Т.е. требуется решить дифференциальное уравнение (в общем виде), и правильно условие записывается, как:

e^y = e - xy' ;

то решение было бы таким:

$e^y = e - xy' \ ;$

$xy' = e - e^y \ ;$

$x \frac{dy}{dx} = e - e^y \ ;$

$\frac{dy}{ e - e^y } = \frac{dx}{x} \ ;$

$\int{ \frac{ dy }{ e - e^y } } = \int{ \frac{dx}{x} } \ ;$

$\int{ \frac{ d\ln{e^y} }{ e - e^y } } = \ln{|x|} \ ;$

$\int{ \frac{ (de^y)/e^y }{ e - e^y } } = \ln{|x|} \ ;$

$\int{ \frac{ de^y }{ e \cdot e^y - (e^y)^2 } } = \ln{|x|} \ ;$

$\frac{1}{e} \int{ ( \frac{ de^y }{e^y} + \frac{ de^y }{ e - e^y } ) } = \ln{|x|} \ ;$

$\frac{1}{e} ( \int{ \frac{ de^y }{e^y} } + \int{ \frac{ de^y }{ e - e^y } } ) = \ln{|x|} \ ;$

$\frac{1}{e} ( \ln{e^y} - \int{ \frac{ d( e - e^y ) }{ e - e^y } } ) = \ln{|x|} \ ;$

$\frac{1}{e} ( \ln{e^y} - \ln{ | e - e^y | } ) = \ln{|x|} + C_2 \ ;$

$\ln{ \frac{e^y}{ | e - e^y | } } = e \ln{ | C_1 x | } \ ;$

$\ln{ \frac{1}{ | e \cdot e^{-y} - 1 | } } = \ln{ ( C x^e ) } \ ;$

$\frac{1}{ e^{1-y} - 1 } = C x^e \ ;$

$e^{1-y} - 1 = C x^{-e} \ ;$

$e^{1-y} = 1 + C x^{-e} \ ;$

$1-y = \ln{ ( 1 + C x^{-e} ) } \ ;$

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=+y+%3D+1+-+%5Cln%7B+%28+1+%2B+%5Cfrac%7BC%7D%7Bx%5Ee%7D+%29