Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=4x-x^2, y=x, y=0

Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=4x-x^2, y=x, y=0

Answer 1

Строим параболу; 4x-x^2=0; x(4-x))=0; x=0  ili  x=4
ветви параболы направлены вниз; вершина (2;4); у=4*2-3^2=4.строим
прямую у=х по точкам (0;0)  и (3;3)
Штрих нужную фигуру (ниже построенной прямой до оси x)
найдем точки пересечения параболы с прямой: 4x-x^2=x; 3x-x^2=0
x(3-x)=0; x=0; x=3.
S=∫(от 0 до 3) (x)dx+∫(∫(от 3 до 4) (4x-x^2)dx=((x^2) /2)|ot 0 do 3)+(4x^2/2-x^3/3)|от 3 до 4=9/2+4*(16/2)-64/3 -4*3^2 /2+3^3 /3=9/2+32-21(1/3)-18+9=
=45(1/2)-39(1/3)=6целых 1/6
Ответ 6(1/6)