Все слова являются синонимами, обозначающие время, не занятое работой. Различия видны в определениях к словам.
Досуг - время, не занятое работой и делами, может включать в себя увлечения, развлечения, спорт и т.п.
Отдых - перерыв в работе, краткий или долгий, направлен на восстановление сил.
Свободное время - время, не занятое работой, производством или делами жизненной необходимости ( на еду, сон, т.п.).
Культурный досуг - время, потраченное на расширение своиз знаний или просто созерцания искусства ( выставки, концерты, литературные вечера и т.п.)