Формулы сокращенного умножения
Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи. 1. Квадрат суммы и квадрат разности: Умножим двучлен а + b на себя, т. е. раскроем скобки в произведении (а + b) (а + b) или, что то же самое, в выражении (а + b) 2 . Имеем: (а + b) 2 = (а + b)(а + b)= а•а + а•b + b•а + b•b = а 2 + аb + аb + b 2 = а 2 + 2аb +b 2 . Аналогично получаем: (а – b) 2 = (а – b) (а – b) = а 2 – аb – bа + b 2 = а 2 – 2аb + b 2 . Итак, (а + b) 2 = а 2 + 2аb + b; (1) ' (а – b) 2 = а 2 – 2ab + b 2 . Формулы (1) и (2) употребляются в математике и смежных дисциплинах довольно часто, поэтому им присвоены (для лучшего запоминания) специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) —квадрат разности. Пример 1. Раскрыть скобки в выражении: а) (3х + 2) 2 ; б) (5a 2 -4b 3 ) 2 . б) (5а 2 - 4Ъ 3 ) 2 . Решение. а) Воспользуемся формулой (1), учтя, что в роли а, выступает 3х, а в роли b — число 2. Получим: (3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 • 3х • 2 + 2 2 = 9х 2 + 12х + 4. б) Воспользуемся формулой (2), учтя, что в роли а выступает 5а 2 , а в роли b выступает 4b 3 . Получим: : (5а 2 – 4b 3 ) 2 = (5а 2 ) 2 - 2 • 5а 2 • 4b 3 + (4b 3 ) 2 = 25а 4 – 40а 2 b 3 +16b 6 . При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что (– а – b) 2 = (а + b) 2 ; (b – а) 2 = (а – b) 2 . Это следует из того, что (– а) 2 = а 2 . Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле 71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 • 70 • 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041; 91 2 = (90 + 1) 2 = 90 2 + 2 • 90 • 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281; 69 2 = (70 – 1) 2 = 70 2 – 2 • 70 • 1 + 1 3 = 4900-140+1 = 4761. Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например: 102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 • 100 • 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10404; 48 2 = (50 – 2) 2 = 50 2 – 2 • 50 • 2+ 2 2 = 2500 – 200 +4 = 2304. Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5. Проведем соответствующие рассуждения для 85 2 . Имеем: 85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2•80•5 + 5 2 = 80(80+10)+25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225. Замечаем, что для вычисления 85 2 достаточно была умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35 2 = 1225 (3 • 4 = 12 и .к полученному числу приписали справа 25); 65 2 = 4225; 125 2 = 15625 (12 • 13 = 156 и к полученному числу приписали справа 25). Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть a и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4).
Рис. 4
Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b) 2 . Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а 2 ), квадрат со стороной b (его площадь равна b 2 ), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна аb). Значит, (а + b) 2 = а 2 + b 2 + 2аb, т. е. получили формулу (1).