Вычислить площадь фигуры ограниченных графиками функций y=x*sqrt(36-x^2); y=0; (0<=x<=6)
Требуется посчитать площадь фигуры, изображённой на картинке. Площадь выражается через определённый интеграл: Ответ. S = 72
спасибо большое, но с какого ты сервера сделал это?
![\displaystyle S=\int_0^6x\sqrt{36-x^2}\,dx=\frac12\int_0^6\sqrt{36-x^2}\cdot2x\,dx=\left[\begin{array}{c}y=x^2\\dy=2x\,dx\end{array}\right]=\\=\frac12\int_0^{36}\sqrt{6-y}\,dy=-\frac12\left.\frac{(36-y)^{3/2}}{3/2}\right|_0^{36}=-\frac13(0^{3/2}-36^{3/2})=\\=\frac13\cdot(6^2)^{3/2}=\frac13\cdot6^3=72](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_0%5E6x%5Csqrt%7B36-x%5E2%7D%5C%2Cdx%3D%5Cfrac12%5Cint_0%5E6%5Csqrt%7B36-x%5E2%7D%5Ccdot2x%5C%2Cdx%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7Dy%3Dx%5E2%5C%5Cdy%3D2x%5C%2Cdx%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5C%5C%3D%5Cfrac12%5Cint_0%5E%7B36%7D%5Csqrt%7B6-y%7D%5C%2Cdy%3D-%5Cfrac12%5Cleft.%5Cfrac%7B%2836-y%29%5E%7B3%2F2%7D%7D%7B3%2F2%7D%5Cright%7C_0%5E%7B36%7D%3D-%5Cfrac13%280%5E%7B3%2F2%7D-36%5E%7B3%2F2%7D%29%3D%5C%5C%3D%5Cfrac13%5Ccdot%286%5E2%29%5E%7B3%2F2%7D%3D%5Cfrac13%5Ccdot6%5E3%3D72 "\displaystyle S=\int_0^6x\sqrt{36-x^2}\,dx=\frac12\int_0^6\sqrt{36-x^2}\cdot2x\,dx=\left[\begin{array}{c}y=x^2\\dy=2x\,dx\end{array}\right]=\\=\frac12\int_0^{36}\sqrt{6-y}\,dy=-\frac12\left.\frac{(36-y)^{3/2}}{3/2}\right|_0^{36}=-\frac13(0^{3/2}-36^{3/2})=\\=\frac13\cdot(6^2)^{3/2}=\frac13\cdot6^3=72")
