1) При положительном значении с в выражении а^c > b^c, то a >b.
Поэтому в заданном выражении имеем:
x^(1/5)+2^(x+2)-4 > x^(1/5)+4^x-2^x.
Перенесём с левой стороны в правую, после сокращения получим:
2^(x+2) - 4 - 4^x + 2^x > 0 или
2^x*4 - 4 - 2^(2) - 2^x > 0,
5*2^x - 2^(2x) - 4 > 0.
Произведём замену 2^x = y и приравняем 0 для разложения на множители.
Получаем квадратное уравнение: -у² + 5у - 4 = 0.
Поменяем знаки: у² - 5у + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=(-5)^2-4*1*4=25-4*4=25-16=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:y₁=(√9-(-5))/(2*1)=(3-(-5))/2=(3+5)/2=8/2=4;y₂=(-√9-(-5))/(2*1)=(-3-(-5))/2=(-3+5)/2=2/2=1.
Тогда выражение у² - 5у + 4 = (у - 4)(у - 1) < 0 (потому что поменяли знаки).
Отсюда у - 4 < 0
у₁ < 4 или 2^x₁ < 2, x₁ < 2.
Если первый множитель меньше 0, то чтобы произведение тоже было меньше 0, второй множитель должен быть больше 0: у - 1 > 0, y > 1, 2^x > 2⁰, x > 0.
Ответ: 0 < x < 2.
2) √(x-4) = x -6.
Возведём обе части в квадрат.
х - 4 = х² - 12х + 36,
х² - 13х + 40 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-13)^2-4*1*40=169-4*40=169-160=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x₁=(√9-(-13))/(2*1)=(3-(-13))/2=(3+13)/2=16/2=8;x₂=(-√9-(-13))/(2*1)=(-3-(-13))/2=(-3+13)/2=10/2=5.
Значение х = 5 не принимаем по ОДЗ (корень не может быть отрицательным (5-6 = -1).
Ответ: х = 8.
3) Заменим 1 = log(6,6).
log(6,(x-3)) = log(6,6)- log(6,(x+2)).
log(6,(x-3)) = log(6,(6/(x+2))).
Отсюда x-3 = 6/(x+2).
Приведём к общему знаменателю:
х² - 3х + 2х - 6 = 6
Получаем квадратное уравнение:
х² - х - 12 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*1*(-12)=1-4*(-12)=1-(-4*12)=1-(-48)=1+48=49;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x₁=(√49-(-1))/(2*1)=(7-(-1))/2=(7+1)/2=8/2=4;x₂=(-√49-(-1))/(2*1)=(-7-(-1))/2=(-7+1)/2=-6/2=-3.
Второй корень х = -3 не принимаем (логарифмируемое выражение не может быть отрицательным).
Ответ: х = 4.