Решите первые три пожалуйста (покажите реш.)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1) $\frac{(x^2-5x+4)(x^2+4x+5)}{(x^2+6x+5) \sqrt{36-x^2} } \ \textless \ 0$
Область определения:
{ x^2 + 6x + 5 = (x+1)(x+5) =/= 0
{ 36-x^2 = (6+x)(6-x) > 0
x ∈ (-6; -5) U (-5; -1) U (-1; 6)
Дробь < 0, значит, среди скобок нечетное количество отрицательных.
При этом √(36 - x^2) > 0 при любых допустимых х, потому что корень арифметический, то есть неотрицательный.
Скобка x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1 > 0 при любом х.
Корень и эту скобку можно убрать.
Получаем систему:
{ x ∈ (-6; -5) U (-5; -1) U (-1; 6)
{ $\frac{x^2-5x+4}{x^2+6x+5} \ \textless \ 0$
Разложим на множители:
{ x ∈ (-6; -5) U (-5; -1) U (-1; 6)
{ $\frac{(x-1)(x-4)}{(x+5)(x+1)} \ \textless \ 0$
По методу интервалов
x ∈ (-5; -1) U (1; 4)

2) $\frac{(x^2-6x+9)(2^x-16)}{log_5(x-1)} \geq 0$
Область определения логарифма
x > 1; x =/= 2
Скобка x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0 при x = 3 и > 0 при всех остальных х.
На нее можно разделить, но отметить, что x = 3 - решение.
Получаем
$\frac{2^x-2^4}{log_5(x-1)} \geq 0$
Возможны две системы:
а)
{ 2^x - 2^4 <= 0<br>{ log_5 (x-1) < 0
Получаем
{ x > 1
{ x < 4
{ x < 2
x1 ∈ (1; 2)
б)
{ 2^x - 2^4 >= 0
{ log_5 (x-1) > 0
Получаем
{ x > 1
{ x >= 4
{ x > 2
x2 ∈ [4; +oo)
И еще надо не забыть решение - число 3.
Ответ: x ∈ (1; 2) U {3} U [4; +oo)

3) $3^{ \sqrt{x^2-1} }*(x-5)*log_5(13-x)\ \textless \ 0$
Область определения
{ x^2 - 1 >= 0
{ 13 - x > 0
x ∈ (-oo; -1) U (1; 13)
При этом $3^{ \sqrt{x^2-1} }\ \textgreater \ 0$ при любом х, поэтому на него можно сократить
$(x-5)*log_5(13-x)\ \textless \ 0$
Возможны две системы:
а)
{ x ∈ (-oo; -1) U (1; 13)
{ x - 5 < 0
{ log_5 (13 - x) > 0
Получаем
{ x ∈ (-oo; -1) U (1; 13)
{ x < 5
{ 13 - x > 1; x < 12
x1 ∈ (-oo; -1) U (1; 5)

б)
{ x ∈ (-oo; -1) U (1; 13)
{ x - 5 > 0
{ log_5 (13 - x) < 0
Получаем
{ x ∈ (-oo; -1) U (1; 13)
{ x > 5
{ 13 - x < 1; x > 12
x2 ∈ (12; 13)
Ответ: x1 ∈ (-oo; -1) U (1; 5) U (12; 13)

mefody66_zn (320k баллов) 20 Апр, 18