В ящике находятся 80 стандартных и 20 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

[[[ I ]]] точный метод

1) Выбрать 5 из 100 деталей всего можно    $C_{100}^5$     способами.

2) Выбрать 5 из 80 стандартных деталей можно    $C_{80}^5$     способами.

3а) Выбрать 4 из 80 стандартных деталей можно    $C_{80}^4$     способами.

3б) Выбрать одну из 20 нестандартных деталей
можно    $C_{20}^1 = 20$     способами.

3) Выбрать 4 из 80 стандартных деталей и ещё одну из 20 нестандартных можно    $20 C_{80}^4$     способами.

4) Выбрать не менее 4 стандартных деталей при выборе
можно    $C_{80}^5 + 20 C_{80}^4$     способами.

5) Вероятность    $P$     того, что из пяти взятых наудачу деталей не менее четырёх окажутся стандартными равна:

$P = \frac{ C_{80}^5 + 20 C_{80}^4 }{ C_{100}^5 } = \frac{ 80!/(75!5!) + 20 \cdot 80!/(76!4!) }{ 100!/(95!5!) } = \\\\ = \frac{ 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77 \cdot 76/5! + 20 \cdot 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77/4! }{ 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96/5! } = \frac{ 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77 \cdot 76/5! + 100 \cdot 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77/5! }{ 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96/5! } = \\\\ = \frac{ 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77 \cdot ( 76 + 100 ) }{ 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 } = \frac{ 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77 \cdot 88 }{ 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 48 } = \frac{ 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 7 \cdot 88 }{ 100 \cdot 9 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 48 } = \frac{ 8 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 7 \cdot 88 }{ 10 \cdot 9 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 48 } = \\\\ = \frac{ 8 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 88 }{ 10 \cdot 9 \cdot 14 \cdot 97 \cdot 48 } = \frac{ 8 \cdot 79 \cdot 13 \cdot 88 }{ 10 \cdot 9 \cdot 14 \cdot 97 \cdot 8 } = \frac{ 79 \cdot 13 \cdot 88 }{ 10 \cdot 9 \cdot 14 \cdot 97 } = \frac{ 79 \cdot 13 \cdot 22 }{ 5 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 97 } = \frac{ 22 \ 594 }{ 30 \ 555 } \approx 0.739453 \ ;$

[[[ II ]]] приближённый метод

1) Вероятность    $P_5$     того, что из пяти взятых наудачу деталей –
– все пять окажутся стандартными равна:

$P_5 \approx ( \frac{80}{100} )^5 = ( \frac{8}{10} )^5 = \frac{8^5}{10^5} = \frac{2^{15}}{10^5} = \frac{ 2^{10} \cdot 2^5 }{10^5} = \frac{ 1024 \cdot 32 }{10^5} = 0.32768 \ ;$

2) Вероятность    $P_4$     того, что из пяти взятых наудачу деталей –
– ровно четыре окажутся стандартными равна:

$P_4 \approx 5 \cdot \frac{20}{100} \cdot ( \frac{80}{100} )^4 = \frac{ 8^4 }{ 10^4 } = \frac{ 2^{12} }{ 10 \ 000 } = 0.4096 \ ;$

поскольку нестандартная может оказаться на одном из пяти мест.

3) Вероятность    $P$     того, что из пяти взятых наудачу деталей не менее четырёх окажутся стандартными равна:

$P \approx P_4 + P_5 = 0.32768 + 0.4096 = 0.73728 \ ;$

gartenzie_zn (8.4k баллов) 18 Апр, 18