Первая окружность построена ** AB, как ** диаметре, а вторая — ** BC. Прямая, проходящая...

Question

Первая окружность построена на AB, как на диаметре, а вторая — на BC. Прямая, проходящая через точку A, повторно пересекает первую окружность в точке D и касается второй окружности в точке E, BD=72, BE=84. Найдите радиус меньшей из окружностей, если точки A, B и C лежат на одной прямой.

Answer 1

BD параллельна ОЕ, так как Из подобия имеем: ОЕ/ЕВ=ЕМ/DВ, отсюда OE=ЕМ*ЕВ/DB или ОЕ=42*84/72=49.
Но ОЕ не может быть меньше DВ! (Так как тогда не выполняется соотношение в подобных треугольниках ADB и АЕО!
Изменим рисунок:
Точка С находится внутри отрезка АВ.
В этом случае все становится на свои места. (Ход решения тот же).
И тогда ОЕ - радиус меньшей окружности равен 49.
Для проверки найдем радиус большей окружности.
Из подобия треугольников ADB и АЕО имеем: АВ/АО=DB/EO или АВ/(АВ-49) =84/49. Отсюда АВ=117,6. Это диаметр большей окружности. Значит ее радиус равен 58,8 .

Ответ: радиус меньшей окружности равен 49.

---