Доказывается методом матем индукции
1) проверяем выполнение для n=1
2*2! = 2*2 =4
(1+2)! - 2 = 3! - 2 = 6 - 2 = 4 выполняется
2) Допустим при n=k равенство верное, проверяем для n = k+1
2*2! + 3*3! +...+(k+1)*(k+1)! + (k+2)(k+2)! = (k+2)! - 2 + (k+2) * (k+2)! =
= (k+2)! * (1 + k + 2) - 2 = (k+2)! * (k + 3) - 2 = (k + 3)! - 2
Для n=k+1 выполнилось равенство
2*2! + 3*3! +....+ (к+2)(к+2)! = (к+3)! - 2 следовательно равенство выполняется для любого n