Задача 7. Делимость ** три Дима меняет число, записанное ** доске, по следующим правилам:...

Question

Задача 7. Делимость на три

Дима меняет число, записанное на доске, по следующим правилам:
если число делится на 3, то он вычитает из него 2;
если число дает остаток 1 при делении на 3, то он вычитает из него 1;
если число дает остаток 2 при делении на 3, то он прибавляет к нему 2.
Дима начинает с числа 2015. Какое число будет на доске после 1001 таких операций?

Answer 1

Решение:
Обратим внимание на то, что если получается число преимущественно делящееся на 3, то чередуются первое и второе действие. Это свойство поможет в дальнейшем решить задачу.
Дано число 2015. Оно делится на 3 с остатком 2. Это значит, что мы должны прибавить 2 к числу. Оно будет равно 2017. Это же число делится на 3 с остатком на 1. Вычитаем 1. 2016 делится на 3. Вычитаем 2. 2014 делится на 3 с ост. 1. Т.е. эти алгоритмы будут чередоваться друг с другом. И, считая, мы должны совершить таких 1000 операций вычитания 1 и 2. Или 500 операций вычитания 3.
Т.о. получаем:
2016-500*3=2016 - 1500 = 516.
Ответ: 516