(cos^2x)/((tgx/2)-(ctgx/2))

$\frac{cos^2x}{tg\frac{x}2-ctg\frac{x}2}=-\frac{cos^2x}{\frac{cos\frac{x}2}{sin\frac{x}2}-\frac{sin\frac{x}2}{cos\frac{x}2}}=-\frac{cos^2x}{\frac{cos^2\frac{x}2-sin^2\frac{x}2}{sin\frac{x}2cos\frac{x}2}}=-\frac{cos^2x*2sin\frac{x}2cos\frac{x}2}{2cos^2x}=\\\\=-\frac{1}2sinx$
Были использованы формулы синуса и косинуса двойных углов.
$2sinx*cosx=sin2x\\cos^2x-sin^2x=cos2x$