V=4/3PiR^3
Можно вычислить объем тел с помощью интегральной формулы
V=(интеграл от а до b)S (x)dx
Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом .Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М.. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:
r=sqrt (OC^2-OM^2)=sqrt (R^2-x^2)
Так как S(x)=пr^2 ,то S(x)=п(R^2-x^2).
Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию
y=f (x)=sqrt (R^2-x^2) ,
-R
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим
V=Pi (интеграл от -R до R) (R^2-x^2)dx=4/3PiR^3