Найдите наименьшее значение выражения 11sin^2α+9cos^2α+8sin^4α+2cos^4α

Question

Найдите наименьшее значение выражения
11sin^2α+9cos^2α+8sin^4α+2cos^4α

Comments

не стыдно то задачи с "фоксфорда" сюда выкладывать ?)

---

Такие интересные задания и решать интересно. У меня в школе таких не было.

---

имхо, тут нечего интересного )

---

это выражение равно 10sin^4x-2sin^2x+11

---

а это выражение равно 10(sin^2x-1/10)^2+109/10

---

минимальное значение квадрата 0. оно причем может достигнуть, так как синус у нас будет-1<..<1

---

все, ответ 109/10

Answer 1

11sin^2 a + 9cos^2 a + 8sin^4 a + 2cos^4 a =
= 9sin^2 a + 9cos^2 a + 2sin^2 a + 6sin^4 a + 2(sin^4 a + 2cos^4 a) = (*)
Заметим, что
1) 9sin^2 a + 9cos^2 a = 9(sin^2 a + cos^2 a) = 9
2) sin^4 a + cos^4 a = sin^4 a + 2sin^2 a*cos^2 a + cos^4 a - 2sin^2 a*cos^2 a = 
= (sin^2 a + cos^2 a)^2 - 2sin^2 a*cos^2 a = 1 - 1/2*(4sin^2 a*cos^2 a)
Подставляем
(*) = 9 + 2sin^2 a + 6sin^4 a + 2 - 4sin^2 a*cos^2 a =
= 11 + 4sin^2 a - 2sin^2 a + 6sin^4 a  - 4sin^2 a*cos^2 a =
= 11 - 2sin^2 a + 6sin^4 a + 4sin^2 a*(1 - cos^2 a) =
= 11 - 2sin^2 a + 6sin^4 a + 4sin^4 a = 11 - 2sin^2 a + 10sin^4 a =
= 10(sin^4 a - 2*1/10*sin^2 a + 1/100) - 1/10 + 11 =
= 10(sin^2 a - 1/10)^2 + 109/10
Минимальное значение квадрата равно 0, а всего выражения 109/10.