Как вычислить производную функции y=3^(3^x)

Производная составной функции    $y(x) = \varphi [ \psi (x) ] \$
вычисляется по формуле:

$y'_x(x) = \varphi'_{ \psi } ( \psi ) \cdot \psi'_x (x) \ ;$

Что легко понять в дифференциальной форме, поскольку:

$y'_x(x) = \frac{ dy }{ dx } = \frac{ d \varphi }{ d \psi } \cdot \frac{ d \psi }{ dx } = \varphi'_{ \psi } ( \psi ) \cdot \psi'_x (x) \ ;$

Аналогично для трёх-вложенной функции    $y(x) = \varphi ( \psi [ \omega (x) ] ) \$
производная вычисляется по формуле:

$y'_x (x) = \varphi'_{ \psi } ( \psi ) \cdot \psi'_{ \omega } ( \omega ) \cdot \omega'_x (x) \ ;$

Итак, задача: y=3^(3^x)     $\Rightarrow y(x) = 3^{3^x} \ ;$

Учтём, что    $3 = e^{ \ln{3} } \ ;$

$y(x) = 3^{3^x} = ( e^{ \ln{3} } )^{ ( e^{ \ln{3} } )^x } = e^{ \ln{3} \cdot e^{ x \ln{3} } } \ ;$

$y'_x (x) = ( e^{ \ln{3} \cdot e^{ x \ln{3} } } )'_x = e^{ \ln{3} \cdot e^{ x \ln{3} } } \cdot ( \ln{3} \cdot e^{ x \ln{3} } )'_x = \\\\ = 3^{3^x} \cdot \ln{3} \cdot e^{ x \ln{3} } ( x \ln{3} )'_x = 3^{3^x} \cdot \ln{3} \cdot 3^x \cdot \ln{3} = 3^{3^x+x} \cdot \ln^2{3} \ ;$

О т в е т :

$y'_x (x) = ( 3^{3^x} )'_x = \ln^2{3} \cdot 3^{3^x+x} \ .$