sin20+sin13sin57-sin33sin77=

Question

sin20+sin13sin57-sin33sin77=

Answer 1

sin20+sin13sin57-sin33sin77=sin20+sin13sin57-sin(90-57)sin(90-13)

 

sin20+sin13sin57-sin(90-57)sin(90-13)=sin20+sin13sin57-cos(57)cos(13)

 

sin20+sin13sin57-cos(57)cos(13)=sin20-(cos57cos13-sin13sin57)

 

sin20-(cos57cos13-sin13sin57)=sin20-cos(57+13)

 

sin20-cos(57+13)=sin20-cos70

 

sin20-cos70=sin 20 -cos(90-20)

sin 20 - cos(90-20)=sin 20 - (cos90cos 20+sin90sin 20)

sin 20 - (cos90cos 20+sin90sin 20)=sin 20-sin 20=0

 

Answer 2

Произведения раскладываем по формуле sin(a)·sin(b) = (cos(a-b)-cos(a+b))/2, заодно учитывая четность косинуса. 
sin(20°) + cos(44°)/2 - cos(70°)/2 - cos(44°)/2 + cos(110°)/2 = 
sin(20°) + cos(110°)/2 -cos(70°)/2 = 
(по той же формуле делаем обратную замену – разность косинусов представляем в виде произведения синусов с a=90° и b=-20°) 
sin(20°) - sin(90°)·sin(20°) = sin(20°)-sin(20°) = 0.