Помогите, пожалуйста!!!

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Область определения.
Основание логарифма положительно и не = 1.
x > -1, x =/= 0
Число под логарифмом положительно.
x > -7/2, но -7/2 < -1, поэтому
Итог: x ∈ (-1; 0) U (0; +oo)
Теперь решаем
$log_{x+1}(2x+7)*log_{x+1}\frac{2x+7}{(x+1)^3} \leq -2$
$log_{x+1}(2x+7)*(log_{x+1}(2x+7) - log_{x+1}(x+1)^3) \leq -2$
$log_{x+1}(2x+7)*(log_{x+1}(2x+7) - 3) \leq -2$

Замена $y=log_{x+1}(2x+7)$
y(y - 3) <= -2 y^2 - 3y + 2 <= 0 (y - 1)(y - 2) <= 0 $\left \{ {{y=log_{x+1}(2x+7) \geq 1} \atop {y=log_{x+1}(2x+7) \leq 2}} \right.$
$\left \{ {{log_{x+1}(2x+7) \geq log_{x+1}(x+1)} \atop {log_{x+1}(2x+7) \leq log_{x+1}(x+1)^2}} \right.$

Если x ∈ (-1; 0), логарифм убывает, поэтому знаки меняются.
$\left \{ {{2x+7 \leq x+1} \atop {2x+7 \geq (x+1)^2}} \right.$
$\left \{ {{x\leq -6} \atop {2x+7 \geq x^2+2x+1}} \right.$
Решений нет, потому что x <= -6 не может быть. 
Если x > 0, то логарифм возрастает, поэтому знаки остаются.
$\left \{ {{2x+7 \geq x+1} \atop {2x+7 \leq (x+1)^2}} \right.$
$\left \{ {{x\geq -6} \atop {2x+7 \leq x^2+2x+1}} \right.$
x > 0, поэтому 1 неравенство выполняется всегда, решаем 2
2x+7 <= x^2+2x+1 7 <= x^2 + 1 x^2 - 6 >= 0
x >= √6
Ответ: [√6; +oo)

mefody66_zn (320k баллов) 18 Апр, 18