Помогите, пожалуйста, решить интеграл

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Ребят, это же не школьная программа, ставьте хотя бы вознаграждение соответствующее.

Основная задача подобных интегралов - привести их к простому виду.

К примеру, в числителе можно отнять и прибавить единицу, чтобы можно было разбить на простые.

∫ $\frac{ e^{4x}}{ e^{x} -1}$ dx = ∫ $\frac{(e^{4x} - 1) + 1}{ e^{x} -1}$ dx = ∫ $\frac{(e^{4x} - 1)}{ e^{x} -1}$ dx + ∫ $\frac{1}{e^{x} -1}$ dx

Далее рассмотрим интегралы по отдельности:

1) $e^{4x}$ - 1 = ( $e^{2x}$ - 1)( $e^{2x}$ + 1) =  ( $e^{x}$ - 1)( $e^{x}$ + 1)( $e^{2x}$ + 1)

Разделим (1) на ( $e^{x}$ - 1) и получим:

( $e^{x}$ + 1)( $e^{2x}$ + 1) = $e^{3x}$ + $e^{2x}$ + $e^{x}$ + 1

Откуда интеграл  ∫ $\frac{(e^{4x} - 1)}{ e^{x} -1}$ dx плавно превращается в ∫( $e^{3x}$ + $e^{2x}$ + $e^{x}$ + 1)dx или в сумму интегралов:

∫ $e^{3x}$ dx + ∫ $e^{2x}$ dx + ∫ $e^{x}$ dx + ∫1dx

Запишем их первообразные:

1) ∫ $e^{3x}$ dx = 1/3 * $e^{3x}$ + С (любая константа)
2) ∫ $e^{2x}$ dx = 1/2 * $e^{2x}$ + С (любая константа)
3) ∫ $e^{x}$ dx = $e^{x}$ + С (любая константа)
4) ∫1dx = x + C (любая константа)

Возвращаемся в начало и разберемся с интегралом ∫ $\frac{1}{e^{x} -1}$ dx:

5) ∫ $\frac{1}{e^{x} -1}$ dx =  ∫ $( e^{x} -1)^{-1}$ dx

В инете есть куча табличек по производным и первообразным, советую их заучить. Производная ln`(x) = ln(x)*x. Воспользуемся этим логарифмом и получим:

5) ∫ $( e^{x} -1)^{-1}$ dx = ln(1 - $e^{x}$ ) - x + C (любая константа)

А теперь суммируем (1) (2) (3) (4) (5) и получаем ответ:

1/3 * $e^{3x}$ + 1/2 * $e^{2x}$ + $e^{x}$ + x + ln(1 - $e^{x}$ ) - x + C (любая константа) = 1/3 * $e^{3x}$ + 1/2 * $e^{2x}$ + $e^{x}$ + ln(1 - $e^{x}$ ) + C

Wayer_zn (662 баллов) 18 Апр, 18