0 \ , " alt=" A > 0 \ , " align="absmiddle" class="latex-formula"> причём
\frac{1}{A} \ ; \ \Rightarrow \ \ A^2 > 1 \ ; \ \Rightarrow \ \ A > 1 \ ; " alt=" A > \frac{1}{A} \ ; \ \Rightarrow \ \ A^2 > 1 \ ; \ \Rightarrow \ \ A > 1 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
a > \frac{1}{A} > 0 \ ; \ \Rightarrow \ \ Aa > 1 \ ; " alt=" A > a > \frac{1}{A} > 0 \ ; \ \Rightarrow \ \ Aa > 1 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
0 \ , " alt=" B > 0 \ , " align="absmiddle" class="latex-formula"> причём
b > 1 \ ; \ \Rightarrow \ \ Bb > 1 \ ; " alt=" B > b > 1 \ ; \ \Rightarrow \ \ Bb > 1 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
Рассмотрим три выражения:
и:
Рассмотрим разность
0 \ , " alt=" D = A + \frac{1}{AB} + B - ( A + \frac{1}{Ab} + b ) = \frac{1}{AB} + B - \frac{1}{Ab} - b = \\\\ = B - b + \frac{1}{AB} - \frac{1}{Ab} = B - b + \frac{b-B}{ABb} = ( B - b ) ( 1 - \frac{1}{ABb} ) > 0 \ , " align="absmiddle" class="latex-formula">
т.к.
0 \ , \ \ A > 1 \ , " alt=" B - b > 0 \ , \ \ A > 1 \ , " align="absmiddle" class="latex-formula"> и
1 \ . " alt=" Bb > 1 \ . " align="absmiddle" class="latex-formula">
Итак:
0 \ ; \ \Rightarrow \ G - M > 0 \ ; \ \Rightarrow \ G > M \ ; " alt=" D > 0 \ ; \ \Rightarrow \ G - M > 0 \ ; \ \Rightarrow \ G > M \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula"> [ ** 1 ** ]
Рассмотрим разность
0 \ , " alt=" d = A + \frac{1}{Ab} + b - ( a + \frac{1}{ab} + b ) = A + \frac{1}{Ab} - a - \frac{1}{ab} = \\\\ = A - a + \frac{1}{Ab} - \frac{1}{ab} = A - a + \frac{a-A}{Aab} = ( A - a ) ( 1 - \frac{1}{Aab} ) > 0 \ , " align="absmiddle" class="latex-formula">
т.к.
0 \ , \ \ Aa > 1 \ " alt=" A - a > 0 \ , \ \ Aa > 1 \ " align="absmiddle" class="latex-formula"> и
1 \ . " alt=" b > 1 \ . " align="absmiddle" class="latex-formula">
Итак:
0 \ ; \ \Rightarrow \ M - S > 0 \ ; \ \Rightarrow \ M > S \ ; " alt=" d > 0 \ ; \ \Rightarrow \ M - S > 0 \ ; \ \Rightarrow \ M > S \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula"> [ ** 2 ** ]
0 \ ; " alt=" G - S = G - M + M - S = D + d > 0 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
0 \ ; " alt=" G - S > 0 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
S \ ; " alt=" G > S \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
Что так же понятно и из сравнения выражений [ ** 1 ** ] и [ ** 2 ** ] :
M > S \ ; " alt=" G > M > S \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
a + \frac{1}{ab} + b \ , " alt=" A + \frac{1}{AB} + B > a + \frac{1}{ab} + b \ , " align="absmiddle" class="latex-formula">
что и требовалось выяснить и доказать.