Повествовательное, невосклицательное, сложноподчинённое с придаточным обстоятельства времени:
главное предложение: старая нянька схватывала мою Соню и уносила к себе - простое, двусоставное,полное, распространённое, осложнено однородными сказуемыми.
Уносила когда? в какое время?
Придаточное: всякий раз когда я начинал играть с ней по-своему шумно и резво - простое, двусоставное, полное, распространённое, осложнено однородными обстоятельствами