найти все значение параметра а, при каких система имеет единственное решение

Question

найти все значение параметра а, при каких система имеет единственное решение

Answer 1

Строгое решение будет таким. Если (х,у)  - какое-нибудь решение системы и при этом x≠0, то (-x,y) - тоже решение. Причем оно не совпадает с первым.  Отсюда, если система имеет единственное решение, то обязательно х=0.
т.е. y=a, a^2=4, т.е. а=2 или а=-2.
1) Если а=2, то y=x²+2, x²+(x²+2)²=4, т.е. x²(x²+5)=0, единственное решение x=0, откуда y=2.
2) Если а=-2, то y=x²-2, x²+(x²-2)²=4, т.е. x²(x²-3)=0, видим, что есть три решения при x=0,  x=-√3, x=√3.
Итак, ответ: а=2.

Comments

гораздо проще решение есть )

---

Сказал "а", говори и "б".

Answer 2

x²+y²=2² - уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R =2

y=x²+a квадратичная функция, график парабола ветви вверх, смещена на а единиц.
чтобы данная система имела только одно решение парабола вершиной должна касаться окружности
такая точка (0;2), => a=2

пусть а=-2, тогда y=x²-2. графическое решение системы (см. рис. 2)
получаем 3 общих точки параболы и окружности, => при а=-2 система имеет 3 решение, что противоречит условию задачи.
ответ: при а=2 система уравнений имеет одно решение

---

---

Comments

Это неполное решение. При а=-2 парабола тоже касается, и вдруг ее ветви "обойдут" окружность? Это конечно не так, но это надо проверять.

---

парабола y=x^2+a симметрична относительно оси Оу, следовательно будет 2 точки касания при а<0. в условии сказано, что должно быть только одно решение

---

нет, при а=-2 будет одна точка касания. Другое дело, что там будет еще две точки пересечения с окружностью. Но это не очевидно, и надо доказывать

---

Согласитесь, что фраза "рисунок показывает" в математике при доказательстве чего-либо - вещь ненадежная. Например, если бы второе уравнение было y=0,25x²+a, то ваш метод не сработает, и система будет иметь единственное решение и при а=-2. По крайней мере по картинке будет очень сложно разобраться.