Докажите ,что радиус окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, равен...

Question

Докажите ,что радиус окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, равен радиусу окружности , проходящей через точку пересечения его высот и две вершины треугольника

Answer 1

Удивительно, но эта такая сложная по формулировке задача решается в одно действие.
Угол между высотами, выходящими (например, тут полный произвол в обозначениях) из вершин углов A и B; равен 180 - С;
Это можно просто сосчитать, как 180 - (90 - A) - (90 - B) = A + B = 180 - C;
а можно просто заметить, что четырехугольник, образованный сторонами угла С и высотами (ну кусочками), выходящими из углов A и B, очевидно является вписанным (да даже еще проще - в нем два угла прямых).
а можно просто заметить, что у угла С и угла между высотами СТОРОНЫ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ. :)
Поэтому в обоих треугольниках напротив общей их стороны AB лежат углы, синусы которых равны.
Поэтому (по теореме синусов) равны радиусы окружностей, описанных вокруг этих треугольников.

Comments

спасибо, только вот жаль возникают проблемы с рисунком

---

Если честно, вот это я мог бы предположить в самую последнюю очередь

---

Есть треугольник ABC и H - точка пересечения его высот, надо доказать, что равны радиусы окружностей, описанных возле треугольников ABC и ABH

---

Или ABC и BCH :) или ABC и ACH

---

Ясно, что достаточно доказать для одного из этих треугольников, например ABH

---

И совсем не надо рисовать при этом окружности

---

спасииибо:))) теперь все понятно