1. В заключениЕ несчастный капитан заболел лихорадкой, не отступавшей в течениЕ недели.
2. Мысли, трЕвожившие меня, не давали уснуть, несмотря на (предлог: несмотря на что?) усталость.
3. Мне было 25 лет, когда я начИнал писать что-то вроде (предлог: вроде чего?) воспомИнаний.
4. В следствиЕ (сущ. с предл.) по делу хищения государствеННого имущества было включено заключениЕ экспертизы.
5. Имей в виду, насчет (предлог: насчет чего?) перенесеННой болезни с ней не говори.
6. По мере (предлог: по мере чего?) надобности он подлИвал воду в кАстрюлю.
7. Не смотря в блокнот, он точно набрал номер.
8. Девушка усердно мОлилась, не смотря ни направо, ни налево.
9. Мы с сестрой, несмотря на (предлог: несмотря на что?) разницу в возрАсте, дружили с деТства.
10. В виду (сущ. с предлогом) города непрИятель остАновился.
***К предлогу вопрос поставить нельзя, зато его можно использовать в предложном вопросе.