Найдите точку максимума функции:

Question 1

Найдите точку максимума функции: $y=(x^2-8x+8) e^{6-x}$

Question 2

Респект тебе за то, что TeXом пользуешься)
Ну что ж, известно, что если $x_0$ - экстремум, то $f'(x_0) = 0$
В нашей задаче
$f(x) = (x^2-8x+8) \cdot e^{6-x} \\ f'(x) = (2x-8) \cdot e^{6-x} + (x^2-8x+8) \cdot e^{6-x} \cdot (-1).$
Решаем уравнение:
$(2x-8 - x^2 +8x-8) \cdot e^{6-x} = 0$
Так как экспонента в ноль не обращается, то оно равносильно
$x^2 -10x+16 = 0 \\ x_1 = 2; x_2 = 8$
Это точки, подозрительные на экстремум.
Далее находим вторую производную:
$f''(x) = (10 -2x) \cdot e^{6-x} + (x^2-10x+16) \cdot e^{6-x} = e^{6-x} \\ = (x^2 -12x+26) \cdot e^{6-x}$
$f''(2) \ \textgreater \ 0$ - это минимум,
$f'(8) \ \textless \ 0$ - максимум

Ответ: 8

mathpro_zn · Answer 1 · 2018-04-17T19:43:09+0000

Респект тебе за то, что TeXом пользуешься)
Ну что ж, известно, что если $x_0$ - экстремум, то $f'(x_0) = 0$
В нашей задаче
$f(x) = (x^2-8x+8) \cdot e^{6-x} \\ f'(x) = (2x-8) \cdot e^{6-x} + (x^2-8x+8) \cdot e^{6-x} \cdot (-1).$
Решаем уравнение:
$(2x-8 - x^2 +8x-8) \cdot e^{6-x} = 0$
Так как экспонента в ноль не обращается, то оно равносильно
$x^2 -10x+16 = 0 \\ x_1 = 2; x_2 = 8$
Это точки, подозрительные на экстремум.
Далее находим вторую производную:
$f''(x) = (10 -2x) \cdot e^{6-x} + (x^2-10x+16) \cdot e^{6-x} = e^{6-x} \\ = (x^2 -12x+26) \cdot e^{6-x}$
$f''(2) \ \textgreater \ 0$ - это минимум,
$f'(8) \ \textless \ 0$ - максимум

Ответ: 8