Найдите площадь закрашенной фигуры.

Будем использовать определенные интегралы для расчета площадей. Так как, в каждой четверти находятся равные части фигуры, то её площадь равна четырем площадям сегмента фигуры находящегося в первой четверти. А он в свою очередь, равен разности площадей прямоугольных треугольников с катетами равными семи у первого и трём у второго.

$S_f = 4*S_s = 4*(S_{tr(7)} - S_{tr(3)})\\\\\ 4(\int\limits^{7}_{0}\ -x +7 \,dx - \int\limits^{3}_{0}\ -x +3\,dx) =\\\\ 4(-\frac{x^2}{2} +7x |\limits^{7}_{0}) -4(-\frac{x^2}{2}+3x|\limits^{3}_{0}) =\\\\4(-\frac{7^2}{2}+7^2) -4(-\frac{3^2}{2}+3^2) = 2*7^2 -2*3^2 = 2*(49-9) = 80$

Элементарное решение задачи:

$S_{tr(n,m)} = \frac{1}{2}*n*m\\\\ S_f = 4*S_s = 4*(S_{tr(7,7)} - S_{tr(3,3)}) =\\ 4*(\frac{1}{2} 7^2 - \frac{1}{2} 3^2) = 2 (7^2 - 3^2) = 80$