Доказать, что , где p - простое число, делится ** 24

0 голосов
40 просмотров

Доказать, что p^{2}-1, где p - простое число, делится на 24

Математика (85 баллов) | 40 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

при р=2 или р=3 - утверждение неверно

 

при простом р>3 любое простое число имеет вид либо p=6k+1, где k  -  некоторое действительное число, либо p=6l-1, где l  -  некоторое действительное число

 

(используя формулу квадрата двучлена)

1 случай

p^2-1=(6k+1)^2-1=(6k)^2+2*(6k)+1^2-1=36k^2+12k+1-1=36k^2+12k=12k(3k+1)

очевидно, що выражение делится на 12( один из множителей делится на 12)

из двух чисел k и 3k+1 одно обязательно делится на 2 (так как они разной четности)

а значит выражение делится на 12*2=24, что и требовалось доказать

Доказано

 

2случай

p^2-1=(6l-1)^2-1=(6l)^2-2*(6l)+1^2-1=36l^2-12l+1-1=36l^2-12l=12l(3l-1)

очевидно, що выражение делится на 12( один из множителей делится на 12)

из двух чисел l и 3l-1 одно обязательно делится на 2 (так как они разной четности)

а значит выражение делится на 12*2=24, что и требовалось доказать

Доказано

 

Доказано

 

прим. (При делении на 6 возможны остатки 0, 1,2,3,4,5,6

значит любое целое число можно записать одним из видов 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5,

при єтом 6k, 6k+2=2*(3k+!), 6k+3=3*(2k+1), 6k+4=2*(3k+2) - не будут простыми)

прим 2. (6l-1=6(m+1)-1=6m+6-1=6m+5)

(408k баллов)
Похожие задачи