Готов отдать все свои пункты за правильное решение следующей задачи: Докажите, что для...

Question

Готов отдать все свои пункты за правильное решение следующей задачи:

Докажите, что для любых положительных a и b выполнено неравенство:

Задача несложная, но тем не менее...

Edit: и ещё вопрос, найдите все положительные значения a и b, при которых неравенство обращается в равенство (естественно с доказательством).

Answer 1

Разделим обе части указанного неравенства на положит. число a^3 и сделаем замену переменной: t = b/a > 0:

Раскроем куб суммы и домножив на 4, получим:

Многочлен в левой части раскладывается на множители по стандартной процедуре. Подбором устанавливается целый корень:  -4, далее делением многочлена на (t+4) получим (2t-1)^2  и полное разложение имеет вид:

Видим, что при t>0 указанное неравенство верно, что и требовалось доказать.

Равенство 0 достигается при t = 1/2, то есть при любых положительных a и b, отвечающих условию: a = 2b