Найдите частное решение уравнения xdy = ydx, при y = 6, x = 2

Перенесём всё в одну часть и домножим на (1/x^2):
$x\,dy=y\,dx\\ \dfrac{x\,dy-y\,dx}{x^2}=0$

Заметим, что в левой части равенства стоит полный дифференциал, а правая часть ноль. Так может быть только если то, что стоит под дифференциалом - константа.
$d\left(\dfrac yx\right)=0\\ \dfrac yx = C\\ y=Cx$

Константу C определим из условия:
$6=C\cdot 2\\ C=3$

Ответ.
$\boxed{y=3x}$