Почему в словах продрогнешь, найдешь, обшаришь пишется Ь ?
Потому-что это действия глагола , а на конце действий глагола пишется ь.
Например : играешь , слышишь , видишь , шумишь.
Потому что глаголы употребляются во 2 лице, единственном числе!