Апофема правильной четырехуголоной пирамиды равна а, плоский угол при вершине равна...

Апофема - высота боковой грани, т.к. пирамида правильная, то боковые грани - равнобедренные треугольники, а в основании лежит квадрат. Если высота (ещё медиана и биссектриса, к тому же) равнобедренного треугольника равна а, угол при вершине альфа (Х), то основание треугольника равно b=2a*tg(X/2). Пусть высота пирамиды h, тогда выполняется теорема Пифагора для полуоснования, апофемы и высоты:

$(b/2)^2+h^2=a^2;\\ h=\sqrt{a^2-(b/2)^2}=a\sqrt{1-tg^2(\alpha/2)}\\ V=Sh/3=b^2h/3=4a^2tg^2(\alpha/2)*a\sqrt{1-tg^2(\alpha/2)}/3=\\ =4a^3/3*tg^2(\alpha/2)\sqrt{1-tg^2(\alpha/2)}$