1. Область определения логарифма:
x^2 + 1 > 0 - выполнено при любых х.
ax^2 + 4x + a > 0
Если а = 0, то x > 0
Если a =/= 0, то посчитаем дискриминант и корни
D = 16 - 4a*a = 4(4 - a^2)
x1 = (-4 - 2√(4 - a^2))/(2a) = (-2 - √(4 - a^2))/a;
x2 = (-4 + 2√(4 - a^2))/(2a) = (-2 + √(4 - a^2))/a
Если a < 0 и D < 0, то есть a < -2, то решений нет, потому что ветви параболы направлены вниз и вся парабола лежит ниже оси Ох.
Если a < 0 и D >= 0, то есть a ∈ [-2; 0), то x ∈ [x1; x2]
Если a > 0 и D >= 0, то есть a ∈ (0; 2], то x ∈ (-oo; x1) U (x2; +oo)
Если a > 0 и D < 0, то есть a > 2, то x ∈ (-oo; +oo), потому что ветви параболы направлены вверх и вся парабола лежит выше оси Ох.
Нам нужен именно этот случай, когда неравенство верно при любом
х, поэтому рассматриваем только промежуток: a > 2.
2. Теперь решаем само неравенство.
Логарифм по основанию 5 - функция возрастающая (5 > 1), поэтому при переходе к числам под логарифмами знак остается.
5x^2 + 5 >= ax^2 + 4x + a
(a - 5)*x^2 + 4x + (a - 5) <= 0<br>
У нас есть ограничение: a > 2.
Если а = 5, то x <= 0<br>Если a =/= 5, то найдем дискриминант и корни
D = 16 - 4(a-5)^2 = 4(4 - (a-5)^2)
x1 = (-4 - 2√(4 - (a-5)^2))/(2(a-5)) = (-2 - √(4 - (a-5)^2))/(a-5)
x2 = (-4 + 2√(4 - (a-5)^2))/(2(a-5)) = (-2 + √(4 - (a-5)^2))/(a-5)
Если a ∈ (2, 5), то a-5 < 0, ветви параболы направлены вниз,
и если D < 0, то есть a-5 < -2; тогда a < 3, то x - любое, потому что вся парабола находится ниже оси Ох.
x ∈ [2; 3)
Если a ∈ (2, 5) и D >= 0, то x ∈ (-oo; x1) U (x2; +oo)
Если a > 5, то a-5 > 0, ветви параболы направлены вверх
и если D < 0, то решений нет, потому что вся парабола находится выше оси Ох.
Если a > 5 и D >= 0, то x ∈ [x1; x2]
Ответ: x ∈ [2; 3)