Обе задачи - на свойство биссектрисы. Биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению боковых сторон.
Отсюда следует, что биссектриса делит треугольник на два, площади которых тоже относятся, как боковые стороны (у этих треугольников общая высота к сторонам, которые и есть отрезки противоположной стороны).
1) BC/CD = 10/15 = 2/3; => BC = (2/5)*BD; (можно и длину назвать, но это "лишнее усилие":) - для решения это не нужно). => Sabc = (2/5)*Sabd;
Осталось совершить простое техническое действие - найти площадь треугольника ABD, у которого известны все три стороны (10, 15, 20);
Ну пусть - по формуле Герона (есть и другие равносильные способы);
p = (10 + 15 + 20)/2 = 45/2; p - 10 = 25/2; p - 15 = 15/2; p - 20 = 5/2;
(Sabd)^2 = 45*25*15*5/(4^2); Sabd = 75√15/4;
Sabc = 15√15/2;
2) Здесь некоторое мозговое усилие надо приложить, чтобы сообразить, что AC - биссектриса ∠BAE; Так как треугольник ABD равнобедренный, ∠CAB = ∠BDA; который по условию равен ∠CAE;
BC/CE = 13/14; => BC = (13/27)*BE; => Sabc = (13/27)*Sabe;
И дальше все по тому же шаблону. Считается площадь треугольника ABE с известными сторонами (13, 14, 15), она равна 84; (это отдельная и очень интересная история, почему тут получается целое число, я её опускаю). Осталось умножить 84 на 13/27; у меня получилось 364/9;
Примечание. Можно поспорить, какое утверждение старше - про площади треугольников или про отрезки. Отношение площадей сразу (и независимо) следует из известной формулы площади треугольника (S = ab*sin(C)/2; "вывод" же этой формулы - это просто подстановка b*sin(C) = h вместо высоты h к стороне a), а вот отношение отрезков противоположной стороны следует отсюда из за общей высоты. Это - одно из доказательств свойства биссектрисы.