В правильный треугольник со стороной а вписана окружность. Найдите ее радиус.

Правильный треугольник - треугольник, у которого все стороны равны (равны а) и все углы по 60 градусов. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе треугольника, но раз все стороны и углы равны, значит биссектриса является и медианой, и высотой. К тому же точками касания стороны делятся на 2. И отрезки сторон равны $\frac{a}{2}$ .
Рассмотрим один маленький прямоугольный треугольник, образованный вершиной треугольника, центром окружности и высотой. Тогда у нас

$tg \alpha = \frac{r}{ \frac{a}{2} }$ , откуда $r= \frac{a}{2} *tg \alpha$ . Ну а альфа у нас половина угла треугольника, то есть 30 градусов.

$r = \frac{a}{2} * tg30= \frac{a}{2} * \frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{ \sqrt{3}*a }{6}$

Ответ:
$\frac{ \sqrt{3}*a}{6}$