На продолжении стороны AC за точку A возьмем точку B', так что AB'=AB. Треугольники ABM и AB'M равны по первому признаку: у них MA - общая, AB=AB' по построению, ∠MAB'=∠MAB т.к. AM - биссектриса угла BAB'. Значит, MB=MB'.
По неравенству треугольника для треугольника CMB' имеем MB'+MC≥CB'. Но по доказанному MB'+MC=MB+MC, а CB'=AB'+AC=AB+AC. Таким образом, MB+MC≥AB+AC.