Докажите тождество:

$\dfrac{1}{\log_{a}k} + \dfrac{1}{\log_{a^2}k} + \dfrac{1}{\log_{a^3}k} + \dfrac{1}{\log_{a^4}k}+ \dfrac{1}{\log_{a^5}k} =15\log_{k}{a}$

Преобразовываем левую часть к правой:
$\dfrac{1}{\log_{a}k} + \dfrac{1}{\log_{a^2}k} + \dfrac{1}{\log_{a^3}k} + \dfrac{1}{\log_{a^4}k}+ \dfrac{1}{\log_{a^5}k} = \\\ = \dfrac{1}{\log_{a}k} + \dfrac{1}{ \frac{1}{2} \log_{a}k} + \dfrac{1}{ \frac{1}{3}\log_{a}k} + \dfrac{1}{ \frac{1}{4}\log_{a}k}+ \dfrac{1}{ \frac{1}{5}\log_{a}k} = \\\ = \dfrac{1}{\log_{a}k} + \dfrac{2}{ \log_{a}k} + \dfrac{3}{ \log_{a}k} + \dfrac{4}{ \log_{a}k}+ \dfrac{5}{ \log_{a}k} = \\\ = \dfrac{15}{ \log_{a}k}= \dfrac{15}{ \frac{1}{\log_{k}a} }=15\log_{k}a$