HELP ME!!!!! Решить уравнение, то что получилось от показательного ур-ния дорешайте...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$( 36^{ \cos{x} } )^{ \sin{x} } = ( \frac{1}{6} )^{ \sqrt{ 2 \sin{x} } }$ ;

$(6^2)^{ \cos{x} \cdot \sin{x} } = ( 6^{-1} )^{ \sqrt{ 2 \sin{x} } }$ ;

$6^{ 2 \cos{x} \cdot \sin{x} } = 6^{ - \sqrt{ 2 \sin{x} } }$ ;

$2 \cos{x} \cdot \sin{x} = - \sqrt{ 2 \sin{x} }$ ;

ОДЗ

Синус и косинус, одновременно не должны иметь одинаковый знак, поскольку тогда левая часть будет положительной, а правая не может быть положительной. Кроме того, синус не может быть отрицательным, поскольку тогда не извлечётся корень. Стало быть, синус должен быть неотрицательным, а косинус должен быть неположительным. Математически это можно записать так:

$\left\{\begin{array}{l} \cos{x} \cdot \sin{x} \leq 0 \ , \\ \sin{x} \geq 0 \ ; \end{array}\right$

$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \cos{x} \leq 0 \ , \\ \sin{x} \geq 0 \ ; \end{array}\right \\ x = \pi n , n \in Z \ ; \end{array}\right$

$x + 2 \pi n \in \{ 0 , [ \frac{ \pi }{2} ; \pi ] \} ,$ где $n \in Z$ ;

$4 \cos^2{x} \cdot \sin^2{x} = 2 \sin{x}$ ;

$2 \cos^2{x} \cdot \sin^2{x} = \sin{x}$ ;

$\sin{x} ( 2 \cos^2{x} \cdot \sin{x} - 1 ) = 0$ ;

Один из корней $\sin{x} = 0 \ ; \Rightarrow \ \ \ x = \pi n ,$ где $n \in Z$ ;

Рассмотрим: $2 \cos^2{x} \cdot \sin{x} - 1 = 0$ ;

Дорешаем двумя способами:

[[[ 1 способ ]]]

$2 \cos{x} \cdot \sin{x} \cdot \cos{x} - 1 = 0$ ;

$\sin{2x} \cdot \cos{x} = 1$ ;

Это возможно только когда $\cos{x} = \pm 1$ ;

Но тогда $x = \pi n ,$ где $n \in Z$ ;

А в этом случае $\sin{2x} = \sin{ ( 2 \pi n ) } = 0$ ;

Стало быть, равенство $\sin{2x} \cdot \cos{x} = 1$ невозможно
и других корней нет.

[[[ 2 способ ]]]

$2 ( 1 - \sin^2{x} ) \cdot \sin{x} - 1 = 0$ ;

$2 \sin^3{x} - 2 \sin{x} + 1 = 0$ ;

Обозначим $y = \sin{x}$ ;

Тогда уравнение перепишется, как:

$2 y^3 - 2 y + 1 = 0$ ;

Производная функции $f(y) = 2 y^3 - 2 y + 1$ равна $f(y)'_y = 6 y^2 - 2$

и рана нулю при $y = \pm \frac{1}{ \sqrt{3} } .$

Причём, с учётом того, что производная отрицательна между этими значениями, получаем, что в $y = \frac{1}{ \sqrt{3} }$ функция имеет локальный минимум, причём: $f( y = \frac{1}{ \sqrt{3} } ) = 2 ( \frac{1}{ \sqrt{3} } )^3 - 2 ( \frac{1}{ \sqrt{3} } ) + 1 =$

0 " alt=" = \frac{2}{ 3 \sqrt{3} } - \frac{2}{ \sqrt{3} } + 1 = 1 - \frac{4}{ 3 \sqrt{3} } = 1 - \sqrt{ \frac{16}{27} } > 0 " align="absmiddle" class="latex-formula"> ;

А значит функция $f(y)$ пересекает ось абсцисс только один раз, до локального максимума в точке $y = - \frac{1}{ \sqrt{3} } ,$ в котором она очевидно положительна.

Причём при $y = 0$ функция

0 , " alt=" f( y = 0 ) = 1 > 0 , " align="absmiddle" class="latex-formula">

но ведь по определению $y = \sin{x} \geq 0$ – по установленному в ОЗД.

А значит, других корней нет.

О т в е т : $x = \pi n ,$ где $n \in Z .$

gartenzie_zn (8.4k баллов) 16 Апр, 18