X²-12x+13=0 Найти:

Question 1

X²-12x+13=0
Найти: $\frac{1}{12}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3})$

Question 2

$x^2-12x+13=0$
Убедимся, что уравнение имеет корни:
$D_1=(-6)^2-1\cdot13=36-13=23\ \textgreater \ 0$
Уравнение имеет два корня, но они иррациональны. Находить значение заданного выражения будем используя теорему Виета:
$\begin{cases} x_1+x_2=12 \\ x_1x_2=13 \right \end{cases}$
Рассмотрим выражение $x_1^3+x_2^3$ :
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)= \\\ =(x_1+x_2)(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2)= \\\ =(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)$
Выражение выражено через сумму и произведение корней. Подставляем известные значения:
$\frac{1}{12}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3})= \frac{1}{12}(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)= \\\ = \frac{1}{2}\cdot12\cdot(12^2-3\cdot 13)=12^2-3\cdot 13=144-39=105$
Ответ: 105

Artem112_zn · Answer 1 · 2018-04-16T16:41:46+0000

$x^2-12x+13=0$
Убедимся, что уравнение имеет корни:
$D_1=(-6)^2-1\cdot13=36-13=23\ \textgreater \ 0$
Уравнение имеет два корня, но они иррациональны. Находить значение заданного выражения будем используя теорему Виета:
$\begin{cases} x_1+x_2=12 \\ x_1x_2=13 \right \end{cases}$
Рассмотрим выражение $x_1^3+x_2^3$ :
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)= \\\ =(x_1+x_2)(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2)= \\\ =(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)$
Выражение выражено через сумму и произведение корней. Подставляем известные значения:
$\frac{1}{12}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3})= \frac{1}{12}(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)= \\\ = \frac{1}{2}\cdot12\cdot(12^2-3\cdot 13)=12^2-3\cdot 13=144-39=105$
Ответ: 105