40 баллов решить логарифмическое нераенство

Question

40 баллов решить логарифмическое нераенство

---

Answer 1

Lg(x-6) -(1/2)*Lg2 ≥Lg3 +(1/2)*Lg(x-10) ; 
* * * ОДЗ : { x-6 >0 ; x-10 >0 .⇒{x>6 ; x>10 .⇒ x >10.
x∈ (10 ; ∞).
-----
Lg(x-6)  ≥Lg3 +(1/2)*Lg(x-10) +(1/2)Lg2 ;
Lg(x-6)  ≥Lg3+ Lg√(x-10) +Lg√2 ;
Lg(x-6)  ≥Lg( 3*√(x-10) *√2 ) ;  * * * т.к.  основание логарифма =10 >1,то
x -6  ≥  3√2* √(x-10)   ;   т.к. x >10 то
(x -6)²  ≥  (3√2* √(x-10) ) ²  
x² -12x+36  ≥18(x -10) ;
x² -30x +216 ≥ 0 ;
(x-12)(x-18) ≥ 0 ;
методом интервалов :
          +            -            +
(10) ------ [12]  ---- [18] -----

ответ: x ∈ (10 ;12] U [18 ;∞) .

* * *
Lg(x-6) -(1/2)*Lg2 ≥Lg3 +(1/2)*Lg(x-10). ⇔
{ x-6 >0 ; x-10 >0 ; x-6  ≥ 3√2*√(x-10).⇔ { x > 10 ; (x-6)²  ≥ 3√2*(x-10).

Answer 2

ОДЗ: 
а)  x-6>0
     x>6

b)  x-10>0
     x>10

В итоге ОДЗ: x>10



{x-6≥0
{18(x-10)≤(x-6)²
{18(x-10)≥0

a)  x-6≥0
     x≥6

b) 18(x-10)≤(x-6)²
     18x-180≤x²-12x+36
     -x²+18x+12x-180-36≤0
     -x²+30x-216≤0
      x²-30x+216≥0
     D=900-4*216=36
     x₁=(30-6)/2=12
     x₂=(30+6)/2=18
    +                 -                   +
-------- 12 ------------- 18 -----------
\\\\\\\\\                             \\\\\\\\\\\\
x∈(-∞; 12]U[18; +∞)

c) 18(x-10)≥0
     x-10≥0
     x≥10

Объединяем ОДЗ и решения трех неравенств в систему:
{x>10
{x≥6
{x∈(-∞; 12]U[18; +∞)
{x≥10
                \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
-------- 10 ------ 12 -------------- 18 ------------
///////////////////////                             ////////////////////////

x∈(10; 12]U[18; +∞)

Ответ: (10; 12]U[18; +∞)