1) Солнце уже начинало свЕтать по-весеннему. По весеннему лесу раздавались голоса прилетевших птиц.
В первом случае:
Светать (как?) по-весеннему, является наречием образа действия и является обстоятельством
Во втором случае:
По лесу (какому?) весеннему, является прилагательным и определением
2) Учиться по новому учебнику трудно, но интересно. грамматический материал в учебнике излагается по-новому.
В первом случае:
По учебнику (какому?) новому, является прилагательным, и определением
Второй случай:
Излагается (как?) по-новому, является наречием образа действия и является обстоятельством