исследование функции y=(x^2)/(x^2-1)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1. Область определения функции: $x^2-1\ne 0;\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\, x\ne \pm 1$
$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$
2. Исследуем на четность.
$y(-x)= \dfrac{(-x)^2}{(-x)^2-1} = \dfrac{x^2}{x^2-1}=y(x)$
Поскольку $y(-x)=y(x)$ , то эта функция четная.

3. Функция не периодическая.
4. Точки пересечения с осью Ох и Оу.
4.1. С осью Ох (если у=0)
$\dfrac{x^2}{x^2-1} =0;\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, x^2=0;\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, x=0$
4.2. C осью Оу (если х = 0)
$y=0$

5. Точки экстремумы и монотонность функции:
$y'= \dfrac{(x^2)'(x^2-1)-x^2(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} =- \dfrac{2x}{(x^2-1)^2}$
Приравниваем производную функции к нулю:
$- \dfrac{2x}{(x^2-1)^2}=0;\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\, x=0$

__+___(-1)__+___(0)___-___(1)___-____
Функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty;-1)$ и $x \in (-1;0)$ , а убывает на промежутке $x \in (0;1)$ и $x\in (1;+\infty)$
В окрестности точки $x=0$ производная функции меняет знак с (+) на (-), следовательно, точка $x=0$ - точка максимума.

5. Точки перегиба.
Вычисляем вторую производную функции:
$\bigg(- \dfrac{2x}{(x^2-1)^2}\bigg)'=- \dfrac{(2x)'(x^2-1)^2-2x((x^2-1)^2)'}{(x^2-1)^4} =\\ \\ \\ =- \dfrac{2(x^2-1)^2-2x\cdot 2(x^2-1)}{(x^2-1)^4} = \dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$

Приравниваем к нулю
$\dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} =0\\ \\ 3x^2+1=0$
Уравнение решений не имеет, так как левая часть уравнения принимает только положительные значения.

___+____(-1)___-____(1)___+___
На промежутке $x \in (-\infty;-1)$ и $x \in (1;+\infty)$ функция вогнута, а на промежутке $x \in (-1;1)$ функция выпукла.

Вертикальные асимптоты: $x=\pm1$

Горизонтальные асимптоты:
$\displaystyle \dfrac{x^2}{x^2-1} = \dfrac{x^2\pm1}{x^2-1} =1+ \frac{1}{x^2-1} \to_{n\to \infty}1$
$y=1$ - горизонтальная асимтота

Наклонных асимптот нет.

аноним 09 Март, 18