Решите уравнение: (x/(x-1))^2 + (x/(x+1))^2 = 10/9 - Все ответы

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$(\frac{x}{x-1})^{2}+(\frac{x}{x+1})^{2}=\frac{10}{9}$

$\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=\frac{10}{9}$

Отметим ОДЗ.

$\left \{ {{(x-1)^{2}\neq0} \atop {(x+1)^{2}\neq0}} \right$

$\left \{ {{x\neq1} \atop {x\neq-1}} \right$

$\frac{x^{2}}{x^{2}-2x+1}+\frac{x^{2}}{x^{2}+2x+1}=\frac{10}{9}$ /· $9(x^{2}-2x+1)(x^{2}+2x+1)$

$9x^{2}(x^{2}+2x+1)+9x^{2}(x^{2}-2x+1)=10(x^{2}+2x+1)(x^{2}-2x+1)$

$9x^{4}+18x^{3}+9x^{2}+9x^{4}-18x^{3}+9x^{2}=10(x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x^{3}-4x^{2}+2x+x^{2}-2x+1)$

группируем

$(9x^{4}+9x^{4})+(18x^{3}-18x^{3})+(9x^{2}+9x^{2})=10(x^{4}+(-2x^{3}+2x^{3})+(x^{2}-4x^{2}+x^{2})+(2x-2x)+1)$

$18x^{4}+18x^{2}=10(x^{4}-2x^{2}+1)$

$18x^{4}+18x^{2}=10x^{4}-20x^{2}+10$

перенесём всё в левую часть и приравняем уравнение к нулю, при этом не забываем сменить знаки на противоположные

$18x^{4}+18x^{2}-10x^{4}+20x^{2}-10=0$

группируем

$(18x^{4}-10x^{4})+(18x^{2}+20x^{2})-10=0$

$8x^{4}+38x^{2}-10=0$

Произведём замену переменных.

Пусть $y=x^{2}$

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

$8y^{2}+38y-10=0$

Cчитаем дискриминант:

$D=38^{2}-4\cdot8\cdot(-10)=1444+320=1764$

Дискриминант положительный

$\sqrt{D}=42$

Уравнение имеет два различных корня:

$y_{1}=\frac{-38+42}{2\cdot8}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0,25$

$y_{2}=\frac{-38-42}{2\cdot8}=\frac{-80}{16}=-5$

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

$x^{2}=0,25$

$x_{1}=\sqrt{0,25}=0,5$

$x_{2}=-\sqrt{0,25}=-0,5$

Случай 2

$x^{2}=-5$

нет корней

Произведём проверку ОДЗ.

$\left \{ {{0,5\neq1} \atop {0,5\neq-1}} \right$

удовлетворяет ОДЗ

$\left \{ {{-0,5\neq1} \atop {-0,5\neq-1}} \right$

удовлетворяет ОДЗ

Ответ: $x_{1}=0,5$ ; $x_{2}=-0,5$

Svet1ana_zn (172k баллов) 29 Янв, 18