сколько корней имеется ** промежутке от -п до п включительно, в котором значение функции...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$sinx \cdot cosx = \frac{1}{4}$ $[-\pi;\pi]$
Чтобы решить это уравнение, нужно привести к одной функции (т.е. чтобы либо только cos, либо только sin)
Вспоминаем формулу синуса двойного угла: $2sin\alpha cos\alpha=sin2\alpha$
Она бы нам подошла, если бы слева перед синусом и косинусом стояла двойка. Так как ее нет, мы подгоняем:
Эти уравнения совершенно равнозначны: $sinx \cdot cosx = \frac{1}{2} \cdot 2sinx \cdot cosx$
$\frac{1}{2} \cdot 2sinxcosx = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}sin2x=\frac{1}{4}$
$sin2x=\frac{1}{2}$
$2x = (-1)^{k} \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x=(-1)^{k} \frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}$

Это общее уравнение, а нам нужны корни на заданном промежутке. Промежуток $[-\pi; \pi]$ для удобства можем представить как $[\frac{-12 \pi}{12}; \frac{12 \pi}{12}]$ . Так удобнее для сравнения. Делаем выборку, подставляя вместо k разные целые числа:
$k=0; x=\frac{\pi}{12}$ - этот корень принадлежит данному промежутку
$k=1; x=\frac{5 \pi}{12}$ -принадлежит
$k=-1; x=\frac{-7 \pi}{12}$ - принадлежит
$k=-2; x=\frac{-11 \pi}{12}$

Получилось что 4 корня принадлежат.
Ответ: 4

antevrunin_zn (278 баллов) 08 Март, 18