Дан куб ABCDA1B1C1D1 Доказать, что B1D⊥A1B

Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1
Доказать, что B1D⊥A1B

---

Answer 1

Рискну дать еще вариант. Длиннее, но без векторов.
Две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости и не параллельны.
Значит диагонали А1В и В1D - скрещивающиеся прямые (дано).
Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.
Перенесем прямую  В1D параллельно так, чтобы она проходила через точку А1. Прямые А1В и А1D2 (равная и параллельная В1D) теперь пересекающиеся и угол между ними ( угол D2А1В) - это и есть угол между В1D и А1B. Докажем, что он прямой.
A1B - диагональ грани квадрата и равна √2 (возьмем единичный квадрат).
В1D=А1D2 - диагональ куба и равна √3.
ВD2 - гипотенуза прямоугольного треугольника СВD2 с прямым углом С и катетами 1 и 2 (так как D2D=CD по построению).  Значит ВD2=√(4+1)=√5.
Итак, мы имеем треугольник ВА1D2, в котором стороны равны √2, √3 и √5. Но если а²+b²=c², где a,b и с - стороны треугольника, то такой треугольник - прямоугольный. То есть Что и требовалось доказать.

Comments

Просто векторным "способом" все эти вещи доказываются элементарно, как бы сами собой. Если чуток поменять "ориентацию" - для простоты, пусть надо доказать перпендикулярность диагонали AC1 и плоскости DBA1 (это то же самое, что в задаче, только от "другой" вершины как бы. На самом деле все вершины и диагонали равноправны, и "одна" задача может быть переведена в "другую" заменой обозначений).

---

Смотрите, как это "решается". Уравнение плоскости DBA1 x + y + z = 1; то есть нормальный вектор к этой плоскости (1, 1, 1). а это и есть вектор AC. Это - ВСЁ.

---

Кстати, точка O пересечения плоскости DBA1 и AC (прямая x = y = z) имеет координаты x = y = z; x + y + z = 1; O (1/3, 1/3, 1/3) то есть это даже не решение, а просто формальная запись того факта, что плоскость делит диагональ в пропорции 1/2;

---

Спасибо за информацию. Свой вариант я выложил только для тех, для кого Ваше решение "странное". Ну и потом мы не знаем, что они проходили, а что нет. Некоторые, например, считают, что (цитирую):"В геометрии, уравнения решают не через х (только и только в исключительных ситуациях!) а через буквы, которые нам дали :) ". Каково?

---

Ну да :). А что делать, если так учат? Причем какую-нибудь компьютерную игру с базой знаний, раз в 10 большей, чем вся математика школьной программы, они усваивают за дни, если не за часы. И связи видят, и логику понимают, и направления развития интуитивно чувствуют. Я это много раз наблюдал. А в нескольких аксиомах и теоремах разобраться, для них - сложно. Хотя на это надо пару дней, может быть...

---

Им ведь что "странно"? Что я решаю задачи как бы не так, как "положено". А просто, вот беру и решаю. И еще им странно, что я все время пользуюсь понятными и прозрачными соображениями, а не какими-то выученными теоремами и методами. Как будто и не надо учить ничего, и геометрия - вроде как игра какая-то. А я это делаю нарочно. Конечно, человек 10 скажут "странно", но найдется одиннадцатый, который захочет поиграть... :)

---

Мне первые десять совсем не интересны, вместе с их мелкими проблемками и очками. Мне так и хочется все время сказать им - учебник прочти, и головой подумай, прежде чем сюда писать. Я тут и торчу уже четвертый год - только ради вот таких "одиннадцатых". Но их все меньше - сюда не заходят, похоже, так что я вскоре вообще перестану заходить.

---

Да, иногда такое желание появляется...

---

Тссс) Спокойнее, спойконее)

---

Просто понимаешь, сюда обращаются люди, у которых есть проблемы в том или ином предмете и они надеются на такое объяснение, которое будет схоже с классным примером, а другие объяснения понять - трудно....

Answer 2

Три взаимно перпендикулярных и равных по модулю вектора
i = AD; j = AB; k = AA1;
Скалярное произведение любой пары этих векторов равно 0;
A1B = AB - AA1 = j - k;
B1D = AD - AB1 = AD - (AB + AA1) = i - (j + k);
Скалярное произведение A1B и B1D
(j - k)*(i - (j + k)) = (k - j)*(k + j) = lkl^2 - ljl^2 = 0;
чтд

Comments

http://znanija.com/task/6882423 тут (и еще в нескольких местах) я выкладывал "обычное" решение. B1D перпендикулярно плоскости A1BC1, само собой, и любой прямой в этой плоскости, в том числе A1B.

---

ОК

---

но конечно решение...

---

Странное)

---

COS20093. Помогите пожалуйста решить!ТАВС- треугольная пирамида. Точки О и Р - внутренние точки отрезков ТС и АВ соответственно. Постройте угол между прямыми ТР и ОВ.