Пожалуйста, помогите, нужно очень срочно! Кто решит, хотя бы что-нибудь получит много...

Дан 1 ответ

Первая задача:
WLOG пусть а >= b.
Пусть a и b являются такими натуральными числами, что
$(36a+b)(36b+a) = 2^{n}, n \in N$
Тогда
(1) $36a + b = 2^{l}, l \in N$ и (2) $a+36b = 2^{m}, m \in N$ так, что
$l+m = n$ и
$2^{l} \geq 2^{m}$
Разделим (1) на (2):
$\frac{36a+b}{a+36b} = 2^{l-m}, l-m \triangleq k, k \in Z$
$2^{k} = \frac{1+\frac{b}{36a}}{\frac{1}{36} + \frac{b}{a}}, c \triangleq \frac{b}{a}, c \notin Z$
Так как a >= b, с <= 1:<br> $2^{k} = \frac{36}{1+36c} + \frac{c}{1+36c} = \frac{36+c}{1+36c}$
$\frac{36+c}{1+36c} = 2^{k} \in (1, 36)$
Тогда $2^{k} \in \{2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, 2^{5}\}$
$\frac{36+c}{1+36c} = 2^{k} \Rightarrow 36+c = 2^{k}(1+36c) \Rightarrow c = \frac{36-2^{k}}{2^{k}*36-1}$
Соответственно
$c \in \{\frac{36-2}{2*36-1},\frac{36-4}{4*36-1},\frac{36-8}{8*36-1},\frac{36-16}{16*36-1},\frac{36-32}{32*36-1}\}$
$c \in \{\frac{34}{71},\frac{32}{143},\frac{28}{287},\frac{20}{575},\frac{4}{1151}\}$
Решим в общем виде проблему для $c = \frac{c_1}{c_2} = \frac{b}{a}$ :
$b = \frac{c_1}{c_2}*a \Rightarrow a = c_{2}*d \Rightarrow b = c_{1}*d$
Так как 36a+b является степенью двойки:
$(36c_{2}+c_{1})*d = 2^{l} \Rightarrow d = 2^{h}, 36c_{2}+c_{1} = 2^{q}$
Аналогично
$(c_{2}+36c_{1})*d = 2^{m} \Rightarrow c_{2}+36c_{1} = 2^{r}$
Остается проверить для всех с, соблюдаются ли эти два условия.
$c = \frac{34}{71} \rightarrow 34*36 + 71 = 1295 \neq 2^{g}, g \in Z$
$c = \frac{32}{143}\rightarrow 32*36 + 143 = 1295 \neq 2^{g}, g \in Z$
$c = \frac{28}{287} \rightarrow 28*36 + 287 = 1295 \neq 2^{g}, g \in Z$
$c = \frac{20}{575} \rightarrow 20*36 + 575 = 1295 \neq 2^{g}, g \in Z$
$c = \frac{4}{1151} \rightarrow 4*36 + 1151 = 1295 \neq 2^{g}, g \in Z$
Так как нет таких c, которые бы удовлетворяли условия (1) и (2), то нет таких натуральных a,b, что
$(36a+b)(36b+a) = 2^{n}, n \in N$

logenorisec_zn (1.2k баллов) 15 Апр, 18