используя формулы косинуса суммы, синуса суммы и основное тригонометрическое тождество:
(cos альфа + sin альфа ) / (cos альфа - sin альфа )=
(корень(2)/2*cos альфа + корень(2)/2*sin альфа ) / (корень(2)/2*cos альфа - корень(2)/2*sin альфа )=
=(sin(pi/4)*cos альфа + cos(pi/4)*sin альфа ) / (cos (pi/4) *cos альфа - sin(pi/4)*sin альфа)
=sin(pi/4 + альфа)/cos(pi/4 + альфа)=tg(pi/4 + альфа), что и требовалось доказать