1. Пусть n=1, получим 5-3+2=4 - кратно 4 - верно.
2.Предположим, что верно для n=k.
3.Докажем, что верно для n=k+1:
5^(k+1)-3^(k+1)+2k+2=5×5^k-3×3^k+2k+2=(5^k-3^k+2k)+4(5^k) -2(3^k+1)
Докажем, что 2(3^k+1) кратно 4. Для этого докажем, что 3^k+1 чётное число:
1. Пусть k=1, тогда утверждение верно.
2. Предположим, что верно для k=q
3. Докажем, что верно для k=q+1: 3^(q+1)+1=3×3^q+1=(3^q+1)+2(3^q). 3^q+1 - верно по пункту 2, 2(3^q) - кратно 2.
Доказано.
Значит, 2(3^k+1) кратно 4.
Т.к. 5^k-3^k+2k кратно 4 по пункту 2, 4(5^k) кратно 4, 2(3^k+1) кратно 4, то утверждение (5^k-'3^k+2k)-2(3^k+1)+4(5^k)=5^(k+1)-3^(k+1)+2k+2 кратно 4' - верно. Значит, согласно принципу математической индукции, утверждение '5^n-3^n+2n кратно 4' - верно.
Доказано